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So here are my two sentences:

Il démontre l'efficacité des approches proposées en les comparant avec les autres approches.

Il démontre l'efficacité des approches proposées en les comparants avec les autres approches.

Which one is correct and why?

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Il démontre l'efficacité des approches proposées en les comparant avec les autres approches.

Nous sommes en présence d'un gérondif. Le gérondif explicite le verbe, soit en exprimant une action simultanée à celle exprimée par le verbe, soit en exprimant une circonstance liée à l'action. Il est toujours invariable, il est toujours précédé de en. Ce en a perdu tout effet de préposition et n'est qu'une indication du gérondif.
Dans la phrase donnée « En comparant » explicite « il démontre ».

Le seul cas où on accorde [radical du verbe + -ant] c'est quand il s'agit d'un adjectif verbal, celui-ci fonctionne comme un adjectif :

Il fit chauffer l'eau sur les braises fumantes.

La troisième sorte de mot en -ant est le participe présent. Le participe présent n'est jamais précédé de en, il qualifie un nom ou un pronom. Il est invariable.

Cette démonstration comparant les deux approches est très intéressante.

Dans cette dernière phrase « comparant » qualifie « Cette démonstration ».

Finissons en comparant sur une même racine verbale :

  • Il a terminé sa démonstration en me convainquant.
  • Convainquant son auditoire, il fut largement applaudi.
  • Cette démonstration est convaincante.*

* Noter la modification orthographique du radical pour l'adjectif.

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