1- Tout d'abord il faut nuancer la « grossièreté » de putain. D'où je viens (je suis méridionale) ce n'est pas grossier et d'emploi relativement courant. Par exemple, un enseignant qui entend le mot dans une cour de récréation à Toulouse ou à Marseille n'interviendra pas, je doute qu'il en soit de même à Lille ou à Paris, où le petit écolier se fera réprimander !
Le mot putain vient du latin putidus : « pourri, qui pue, fétide ». Put, pute, proprement « puant» a pris dès le 11ème siècle le sens figuré de « sale, mauvais, vil, méchant » s'appliquant spécialement à une femme lascive, débauchée.
La langue populaire en a fait une interjection pour marquer l'admiration, l'étonnement (1931). (Dictionnaire Historique de la Langue Française)
2- Purée comme interjection existe indépendamment de putain. Un des sens figuré de purée est pénurie d'argent panade et, par « métonymie, purée s'applique aussi à une personne dans l'embarras et est employé pour qualifier ce qui est signe de gêne ou de misère. Il est employé familièrement en interjection depuis 1895. » (Dictionnaire Historique de la Langue Française)
À noter que le mot purée au sens propre et le mot purin ont une même origine (purer -> purifer). La purée (au sens propre) au départ était ce qui a été criblé, purifié. Le purin est ce qu'il reste de non comestible.
En Français d'Algérie d'Afrique du nord le mot purée (« purée d'ta mère ! » ) a une valeur voisine de putain et son emploi en France avec ce sens s'est répandu dans les années 60 avec le retour des Français d'Algérie en France.
3- L'emploi interjectif de punaise est attesté pour la première fois en 1947 et est d'origine typiquement provençale. Le mot punaise vient d'un mot latin qui veut dire « qui pue » .
En conclusion le fil conducteur de ces trois mots semble être les mauvaises odeurs.