Inverse et réciproque dans le contexte mathématique : différence entre le français et l'anglais

Question

En français on dit, fonction réciproque (p.ex. arcsin et sin) et fonction inverse (p.ex. 1/x et x). En anglais les termes sont, respectivement, inverse function et reciprocal function. Y a-t-il une raison pour cette différence pour cette paire de mots ?

Answer 1

Je cite Michel Queysanne, Algèbre, Armand Colin, 1964.

• « Certains auteurs disent fonction inverse pour « fonction réciproque d'une bijection ». Cet usage est à proscrire, car si f est par exemple une application de A dans R^* l'inverse de f est l'application définie par x→ 1/f(x) ».

Il existe cependant un autre problème, et cela est le fait que le terme « fonction » en français n'est pas utilisé traditionnellement pour « fonction » dans le contexte de l'analyse mathématique ni dans le contexte de la théorie des ensembles où on y préfère encore le terme « application », le seul terme que l'on ait utilisé jusqu'à ce que sous l'influence des mathématiques anglo-saxonnes on commence à utiliser le terme général « fonction » en analyse. Le terme général est utilisé en français (traditionnellement) dans la théorie des ensembles, ce que l'on peut vérifier dans Bourbaki (Théorie des Ensembles, E II p.13 (fonction) et p. 14 (application)), où est défini la fonction d'un ensemble général vers un autre et l'application (aussi d'un ensemble général vers un autre). La différence est que, lorsque l'on parle de la fonction f de A vers B, A est compris comme étant un ensemble de départ et lorsque l'on parle de l'application f de A vers B, B doit être l'ensemble de définition de f. On peut vérifier les faits de base mentionnés ci-dessus aussi dans « *Ramis Deschamps Odoux, Cours de mathématiques 1. Algèbre, Masson, 1964 p. 11 et 12 ».

Ceci montre que la question n'a pas de réponse dans le contexte d'une terminologie unique anglais-français, parce que cette terminologie unique n'existe pas au moment où les définitions de « réciproque » et « inverse » sont considérées. Elle n'a commencé à s'insinuer, et cela de plus en plus fortement, que depuis quelques temps.

Answer 2

Le sens de to invert en maths est to undo/to revert et l'anglais inverse couvre tout element qui permet d'annuler une operation, soit l'inverse, l'opposé et la réciproque français.

L'opération entre un élément et son inverse anglais donne toujours l'élément neutre. On trouve donc plusieurs inverses en anglais:

• additive inverse, equivalent de l'opposé français, qui annule une addition en produisant l'élément neutre de l'addition, soit 0.

• multiplicative inverse, equivalent de l'inverse français, qui annule une multiplication en produisant l'élément neutre de la multiplication, soit 1.

• inverse function, equivalent de fonction réciproque, dont la composition produit l'élément neutre de la composition, soit la fonction identité. Wikipedia indique: "a function that undoes the operation of ƒ".

• inverse trigonometric function est simplement the inverse function d'une fonction trigonométrique, soit sa réciproque.

Il existe des synonymes:

• opposite pour additive inverse

• reciprocal pour multiplicative inverse. Ainsi la reciprocal function est la function inverse française.

Answer 3

Il semble qu'en français, le mot "inverse" soit réservé à la transformation d'un nombre en son diviseur, c'est pourquoi le mot "réciproque" est employé pour désigner le contraposé logique d'un objet mathématique, et non sa seule inversion arithmétique: "réciproque" est donc plus conceptuel, et "inverse" plus précis: l'inversion est alors un cas particulier de réciprocité, comme le carré est un cas particulier du rectangle.

Il semble que les Anglo-saxons aient fait un choix différent dans l'usage de ces termes. Ce n'est pas la première fois qu'ils nous les brisent menu!