This is from La grande grammaire du français edited by Anne Abeillé, it says:
Son [le gerondif] sujet est le plus souvent non exprimé, mais peut l’être dans une subordonnée participiale, interprétée comme une circonstancielle.
Paul arrivant à 20 heures, nous avons le temps.
Does this mean that the above means:
Si Paul arrive à 20 heures, nous avons le temps.
No, the participe présent cannot express a conditional subordinate and you could not rephrase the sentence using si. In order to replace the participial subordinate by a circumstantial subordinate you'd have to use parce que.
Paul arrivant à 20 heures, nous avons le temps.
is an example sentence in the paragraph Le mode participe présent (II-1.1.3.1) of the GGF that starts by stating that:
Le participe présent est une forme invariable du verbe. Il est souvent appelé gérondif quand il est introduit par la préposition en mais il n'y a pas lieu d'avoir deux formes verbales distinctes1 [...] Son sujet est le plus souvent non exprimé mais peut l’être dans une subordonnée participiale, interprétée comme une circonstancielle.
When the authors write "son sujet", it is clear they mean the subject of the participe présent. They give three examples of participes présents, two use "en+participe présent", and the third one is your sentence where arrivant is not preceded by en.
In a previous chapter (I-3.3.4.2) we can read:
Les phrases au participe présent sont des subordonnées circonstancielles de temps ([L'hiver approchant] il faut rentrer les cactus2) ou de cause (La discussion n'a pas pu aboutir, [Paul ayant refusé de prendre part au vote] parfois appelées participiales. [...] Quand le participe présent est introduit par en il est parfois appelé gérondif et ne comporte pas de sujet. Il ne donne pas lieu à une phrase subordonnée mais à un syntagme verbal.
In the paragraph on "l'interprétation de la subordonnée circonstancielle participiale" (XI-7.2.1):
La subordonnée participiale reçoit en général une interprétation de cause, qu'elle soit en début ou en fin de phrase. Le participe présent décrit le plus souvent une situation concomitante avec celle du verbe principal, ou un aspect de celle-ci, et la relation de cause, permet de construire une situation plus large, englobant le deux situations.
And that is precisely the situation we have in the sentence:
Paul arrivant à 20 heures, nous avons le temps.
Nous avons le temps parce que Paul arrive à 20 heures.
1The authors explain why they do not want to use the word gérondif in XI-7.2.1:
Nous ne retenons pas le terme gérondif pour désigner la forme en+participe présent. En effet ce terme est trompeur car il fait croire que les formes avec et sans préposition seraient différentes, dérivées l'une du participe présent, et l'autre du gérondif latin, ce qui n'est pas le cas.
(Suit une explication historique).
2 I'm much inclined to say that here cause is also expressed.
