En réalité, le verbe "asseoir", ou "assoir" (variante orthographique autorisée par réforme) se conjugue de manière tout à fait correcte des DEUX manières citées dans votre conversation. Strictement.
Il s'agit simplement de deux formes variantes l'une de l'autre.
Cependant et de manière générale, les formes en ie et ey sont préférables aux autres formes moins distinguées (oi et oy).
Dans la pratique, je constate depuis mon enfance que l'usage le plus naturel (naturel, pas familier) et d'utiliser la forme en "oi" au singulier et la forme en "ie" au pluriel :
- je m'assois
- tu t'assois
il s'assoit
nous nous asseyons
- vous vous asseyez
- ils s'asseyent
plutôt que l'inverse :
- je m'assieds
- tu t'assieds
il s'assied
nous nous assoyons
- vous vous assoyez
- ils s'assoient
D'expérience, voici les connotations que l'on pourrait éventuellement noter pour chacun des emplois :
- je m'assieds (presque pompeux)
- tu t'assieds (presque pompeux)
il s'assied (presque pompeux)
nous nous asseyons (très naturel)
- vous vous asseyez (très naturel)
ils s'asseyent (un petit peu moins naturel)
je m'assois (très naturel)
- tu t'assois (très naturel)
il s'assoit (très naturel)
nous nous assoyons (moins élégant)
- vous vous assoyez (moins élégant)
- ils s'assoient (possède le défaut de ne pas être phonétiquement distinguable de "il s'assoit". Cependant, son usage reste assez répandu.)
Pour la dernière personne du pluriel, la "règle du naturel" est moins prédominante, c'est plutôt le contexte qui fixe le choix de la forme a employer - c'est en tout cas le cas pour moi.
Si le contexte assure à l'auditeur que le sujet est bien "ils", et non "il", j'aurai tendance à employer "ils s'assoient", alors que dans un cas plus ambiguë, je choisirais probablement "ils s'asseyent".
J'espère vous avoir d'avantage éclairé qu'embrouillé.