Généralement. Il s'agit de « noter », dans le sens de donner une appréciation accompagnée de la note chiffrée et incidemment de « corriger », « [e]n partic., dans le domaine de l'enseignement. Relever les écarts en vue de noter et faire respecter la norme. Corriger des devoirs » (TLFi). Dans une autre réponse on parle aussi d'évaluer, pour déterminer la valeur.
Contexte sportif. On a le « pointeur » : « 4. SPORTS. Personne qui enregistre les résultats obtenus par les concurrents dans une compétition. (Dict.xxes.). » (TLFi, voir aussi GDT, et surtout au Termium). Les verbes qui sont utilisés dans les définitions/explications sont « enregistrer » (les points), « inscrire » (les points), et « tenir » (le pointage). On voit aussi dans le secrétaire aux notes/de la compétition l'idée d'écrire officiellement. Il faut peut-être se méfier un peu de « pointer »; il y a le sens plus traditionnel de « cocher » ou « [r]epérer d'un point, d'une marque des éléments répertoriés sur une liste, dans un registre, quand on les a contrôlés. ». Mais il y a aussi plusieurs autres sens bien établis, incluant avec le jeu de boules, par opposition à tirer (voir TLFi, pointer3). On dit aussi « arbitrer », du rôle de faire appliquer les règles (quoique le pointage fasse sans doute l'objet de règles). Enfin, on peut « juger » de l'habileté etc. (voir généralement l'arbitre sportif).