C'est assez subtil parce que la plupart des usages sont interchangeables sans grande différence de sens, mais on peut y voir plus clair en regardant des cas où les deux mots ne sont pas interchangeables.
On dit par exemple : cumuler des mandats, cumuler des fonctions, et non accumuler.
On dit aussi l'écureuil accumule des noisettes, et non cumule.
Par ces exemples, on voit que la notion d'accumulation se rapporte à la constitution progressive, par petits morceaux, d'une grande quantité de quelque chose. Accumuler correspond à cet usage.
Par contraste, le cumul se rapporte à la détention, la consommation, l'exécution (...) simultanée de plusieurs choses. Il cumule les petites amies (il en a plusieurs en ce moment, mais il n'en constitue pas pour autant une réserve), il cumule l'alcool et le tabac, il cumule les fonctions de cuistot et de balayeur.
Pour la question spécifique des dettes, il y a une très légère différence de sens ou plutôt d'emphase. Accumuler les dettes signifie s'endetter beaucoup, au fil du temps, petit à petit. Cumuler les dettes signifie qu'à l'instant présent, le sujet a plusieurs dettes, sans forcément se référer à la croissance du nombre de ces dettes au fil du temps (même si c'est assez probable que le cumul résulte d'une accumulation ai fil du temps).