"de" est utilisé ici pour désigner quelque chose de qualitatif. C'est pour cela que l'on utilise pas "des" ou "un(e)" après "pas" ou "ne...pas" qui sont des articles définis, en général.
Vos deux phrases
Je ne mange pas de pommes
Je ne peux pas manger de pommes
sont donc correctes, mais ne signifient pas la même chose.
La première
Je ne mange pas de pommes
fait simplement comprendre à votre interlocuteur (la personne avec qui vous discutez) que vous ne mangez pas de pommes. Vous n'évoquez pas de raison particulière. En revanche
Je ne peux pas manger de pommes
induit le fait que ne pouvez pas manger de pommes. Cela vaut aussi les autres langues.
I don't eat apples =/= I can't eat apples
Il y a également certains exemples (rares) où vous verrez apparaître "des" après "ne...pas" ou "pas".
Il n'y en pas des masses.