Two consecutive Participes Passé in the expression « j’aurais eu tôt fait de ... »

Question

1: Si je n’avais pas perdu bêtement la bague de fiançailles, j’aurais eu tôt fait de lui demander sa main.

I’m not sure why the use of two consecutive Participes Passé, « eu » et « fait », is considered grammatical. It’s part of a set expression, to be sure, but still ...

It’s tempting to drop « eu » and say:

2 : Si je n’avais pas perdu bêtement la bague de fiançailles, j’aurais tôt fait de lui demander sa main.

But I assume that in this specific expression, « aurais tôt fait » is actually the Present Conditional rather than the seemingly Past Conditional, which changes the meaning of the main clause.

Answer 1

Bien que rare, c'est grammaticalement correct. Il s'agit un conditionnel passé surcomposé.

Questions de langue - Temps surcomposés - Académie française:

Tout aussi rares sont les autres temps : conditionnel passé surcomposé (quand elle aurait eu fait cela ; quand elle aurait été partie)

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j’aurais eu tôt fait de lui demander sa main.

est équivalent à:

je lui aurais aussitôt demandé sa main

Answer 2

Une expression idiomatique: Avoir tôt fait de + inf. Ne pas mettre longtemps à. Synon. usuel avoir vite* fait de (This is from the CNRTL site)/

To not take long to do something, to quickly do something.

To change the tense of the expression, you work with AVOIR and leave "tôt fait de" unchanged.