The point in that dialog is the double meaning of je me félicite*. It means either "I'm delighted about something I contributed to" or "I'm delighted about something I'm not directly responsible". The second one was meant.
However, the actor is jokingly taking the first meaning, or even literally, we would say au pied de la lettre, "I congratulate myself on your success" then afterwards, reverse the sentence leading to another nonsense as a punchline: "I congratulate yourself on my success".
* See B1 and B2 in the TLFi link:
1. Se féliciter de + subst. ou inf. Se montrer satisfait d'une initiative, d'une réussite personnelle. Tous les jours elle se félicitait du parti qu'elle avait pris de se donner une grande passion (Stendhal, Rouge et Noir,1830, p. 315). On eût dit qu'elle se félicitait du bon tour qu'elle lui avait joué (Maupass., Contes et nouv.,t. 1, Petit fût, 1884, p. 149). Babeuf se félicite d'avoir défendu la révolution et la république (...). Il se félicite d'avoir sauvé la république (Jaurès, Ét. soc.,1901, p. lxiv).
2. Se féliciter de + subst.; que + subj. S'estimer heureux, se réjouir d'un événement dont on n'est pas soi-même directement responsable. Je me féliciterai toujours d'une occasion qui m'a procuré l'honneur de faire votre connaissance (Hugo, Corresp.,1831, p. 498). Si je me félicite du développement industriel, ce n'est pas seulement parce qu'il fournit un argument facile aux avocats de la science (Poincaré, Valeur sc.,1905, p. 220). Le père se félicitait que le bachot eût éloigné son cadet de Sérianne (Aragon, Beaux quart.,1936, p. 148).