Cela dépend beaucoup de ce à quoi le locuteur tient le plus, de ce qui présente le plus de valeur à ses yeux...
Des rois (Richard III) donneraient leur royaume, Cléopâtre aurait donné son sceptre, un duc de Verdi sa couronne...
Moins royal mais peut-être plus héroique, on peut donner son épée...
J'ai aussi vu passer quelqu'un qui aurait donné son chapeau, un mathématicien qui aurait donné rien moins que sa vie ainsi qu'un lexicographe qui aurait donné un mot...
Après... quand on est moins nanti... c'est plus dur évidemment... alors ne resteront plus que sa dernière chemise, son dernier sou...
... pathétique!
Donc, tu vois, cela dépend beaucoup du contexte et du personnage ainsi que... du caractère qu'on cherche à lui donner et selon que l'on veut faire tragique ou comique. À cette fin, ce genre de formule, en ce qu'elle hiérarchise des valeurs, est particulièrement éloquent. (Je pense à ta seconde phrase)
EDIT : Et, quand j'y songe... on n'est évidemment pas obligé de donner un truc à soi non plus hein... Cela communique un certain genre aussi que de donner... ce qui, de toute évidence, ne vous appartient pas...
Ainsi, par exemple... voyons voir...
J'aurais bien donné ta thèse de doctorat contre un verre de single malt!