From the statement of the question, it is not obvious the level of mastering of the French language of the OP, so I have split my answer starting from some preliminary notes going up to a specialized publication.
General Remarks
...ses yeux verts pétillants, bien que, pour l'instant, ils soient rouges et larmoyants.
- There are some subordinating conjunctions that require the
subjunctive mood. Among them is bien que. Subordinating conjunctions,
are used to join a subordinating clause (dependent clause) to main
clauses. In particular, bien que belongs to the so called opposition
conjunctions that include also malgré que, sauf que, sans que...
Quoiqu’il fasse froid, il se baigne. = Bien qu’il fasse froid, il se baigne.
See, e.g.,
http://lebonusage.over-blog.com/article-la-proposition-concessive-73059655.html
from where the following passage is gleaned:
La concessive se met au subjonctif avec : "bien que, quoique, encore
que, sans que" (Il en est très amoureux sans qu'il y paraisse. Il est
sorti bien qu'il soit malade).
From this reference
https://www.neoscript.fr/astuces-de-la-langue-francaise/180-indicatif-ou-subjonctif.html
We read:
En revanche, certaines locutions sont toujours suivies du subjonctif.
C'est notamment le cas d'afin que (« Afin que tu saches »), à moins
que, avant que, bien que, de crainte que, encore que, jusqu'à ce que,
pourvu que, quoi que.
From another reliable source
https://www.projet-voltaire.fr/regles-orthographe/afin-que-quoique-indicatif-ou-subjonctif/
One reads:
Règle (comment ne plus commettre cette erreur) Après « afin que », «
pour que », « jusqu’à ce que », « bien que », « quoique », le verbe
est toujours au subjonctif.
Il vous serre la main, bien que vous soyez son adversaire.
Je ferais n’importe quoi pour qu’il sourie.
Yet another one
http://mamiehiou.over-blog.com/article-bien-que-indicatif-subjonctif-ou-conditionnel-quel-mode-choisir-79554147.html
We read:
Bien que tous les torts soient de mon côté, je n'en tiendrai aucun
compte.
Ma décision n'a pas varié d'un iota bien que tu aies fait ton cinéma
pendant quatre jours.
Some other relevant references
http://laits.utexas.edu/tex/gr/tas5.html
https://www.frenchtoday.com/blog/french-verb-conjugation/understanding-french-subjunctive
http://www2.snh.be/frans/conjugaison/temps/emploisubjonctifindicatif.htm
http://bdl.oqlf.gouv.qc.ca/bdl/gabarit_bdl.asp?id=4238
https://www.francaisfacile.com/exercices/exercice-francais-2/exercice-francais-25454.php
From the last one
indiquant une restriction, une opposition : on emploie le subjonctif.
La restriction inverse la relation de cause attendue.
Bien que Pierre
soit venu, je suis sortie.
Subjonctif car la venue de Pierre aurait
dû me faire rester. C'est le décalage entre ce qui est attendu et ce
qui se passe qui entraîne l'emploi du subjonctif.
Certaines locutions formées avec que sont toujours suivies du
subjonctif : à condition que, afin que, à moins que, à supposer que,
au lieu que, bien que, d'aussi loin que, de crainte que, de façon que,
de manière que, de peur que, du plus loin que, en admettant que, en
attendant que, encore que, en sorte que, jusqu'à ce que, moyennant
que, peu s'en est fallu que, pour autant que, pour peu que, pour que,
pourvu que, quel que (et quelque... que), qui que, quoique (et quoi
que), avant que , sans que, si bien que, si peu que, si tant est que,
soit que... soit que, supposé que, trop... pour que (et malgré que:
cette dernière est à éviter car impropre sauf lorsque cette locution
est suivie d''avoir' -> malgré qu'il ait ... Néanmoins elle est
employée de plus en plus régulièrement et doit être citée. Elle est
obligatoirement suivie du subjonctif).
Two more references
http://research.jyu.fi/grfle/732.html
http://grammaire.reverso.net/1_1_20_Le_subjonctif.shtml
When bien que is not a conjunction
- When bien que does not imply opposition it does not require subjunctive.
Je pense bien qu'il t'aime.
An ongoing debate
- Regarding bien que as conjunction there is an ongoing debate between
those stating that one must use the subjunctive and others who state
that bien que may be followed by the indicative according to the context. See for instance
here
https://www.btb.termiumplus.gc.ca/tpv2guides/guides/chroniq/index-fra.html?lang=fra&lettr=indx_titls&page=9U66xqoK0nJk.html
- But I think this concerns, for the time being, those that master
sufficiently enough the French Grammar, if not the purists. The books
of French grammar that I possess do not even mention this.
E.g., copying from French Grammar in Context (upper intermediate/advanced students)
Various types of conjunction trigger the use of the subjunctive. These
include: • concessive, e.g. bien que • expressions of purpose, e.g.
pour que • expressions of restriction, e.g. à moins que • expressions
of fear, e.g. de peur que The following examples occur in the text:
bien que de multiples raisons puissent exister (lines 5–6) pour que se
constituent (lines 23–4; also 30–1; 37) à moins que deux V. n’existent
(line 15) de peur que le gamin ne finisse (lines 26–7)
And here is a passage from Grammaire-Les Indispensables (Dubois et Lagane, Larousse, 2009).
Dans les propositions subordonnées conjonctives ou relatives, le
subjonctif peut s'employer quand la subordonnée exprime une idée : ►
de but : Je lui montre la lettre afin qu il comprenne toute I affaire
; ► de concession : Bien que la pièce fût médiocre, on ne s'ennuyait
pas ; ► de condition : Réglons cela, à moins que vous ne vouliez
réfléchir ; ► de conséquence : Ce n'est pas si compliqué qu'on ne
puisse comprendre
Ibid.:
Les conjonctions de subordination relient une proposition subordonnée
à une autre proposition dont elle dépend, en particulier à une
principale. Ces conjonctions expriment : (...) ► la concession - *
bien que quoique : Bien que cet échec fût grave, elle ne se découragea
pas.
Price's (A) Comprehensive French Grammar
- For the sake of completeness, here is the relevant article from
Price's (A) Comprehensive French Grammar. The author does talk about bien que
plus subjunctive/indicative.
The subjunctive after conjunctions formed on the basis of que
Conjunctions meaning ‘although’, of which the commonest are quoique
(note that this is written as one word) and bien que, e.g.:
Il le fera
bien que ce soit défendu. = He will do it although it is forbidden.
Quoique mon frère ait reçu ma lettre, il ne vient pas. = Although my
brother has received my letter, he is not coming.
(The reality of the
event may well be accepted, but it is discounted – e.g. in the second
of these examples it is accepted that the letter has been received,
but in spite of that fact, the brother is not coming.)
Bien que and
quoique occasionally take the indicative or conditional when ‘though’
is almost the same as ‘but’ e.g.:
Il nous faut le faire, bien que nous
n’y gagnerons rien. = We must do it, though/but we shall gain nothing by
it.
but, generally speaking, the subjunctive should be used.
Other
conjunctions meaning ‘although’ and taking the subjunctive are encore
que (exclusively literary) and malgré que (familiar, and frowned on by
some grammarians).
Note that alors que and tandis que, both
meaning ‘whereas’, always take the indicative.
Bien que+conditionnel (emploi erroné ?):
See
http://research.jyu.fi/grfle/742.html#2
D’une manière générale, l’emploi du conditionnel est impossible dans
les concessives introduites par bien que, alors qu’il est fréquent
en finnois après vaikka. On entend pourtant assez fréquemment des
phrases avec bien que suivi du conditionnel (fréquent à l’oral), mais
c’est en principe incorrect :
La direction de l’axe magnétique dans l’espace change donc constamment
et rapidement, mais n’est jamais orientée vers le soleil bien que ce
serait brièvement possible à d’autres points de l’orbite de la planète
[extrait d’un traité d’astronomie]. Ils ont sans doute eu raison de
rentrer, bien que ça aurait été intéressant de passer un an à
l’étranger.
Si on veut absolument exprimer le conditionnel dans un contexte
concessif, on peut couper la phrase et utiliser une construction
paratactique avec adverbe :
La direction de l’axe magnétique dans l’espace change donc constamment
et rapidement, mais n’est jamais orientée vers le soleil ; ce serait
cependant brièvement possible à d’autres points de l’orbite de la
planète. Ils ont sans doute eu raison de rentrer ; ça aurait pourtant
été intéressant de passer un an à l’étranger.
À l’écrit, on utilise le subjonctif, qui contient l’idée de
futur/éventuel/irréel :
La direction de l’axe magnétique dans l’espace change donc constamment
et rapidement, mais n’est jamais orientée vers le soleil bien que cela
soit brièvement possible à d’autres points de l’orbite de la planète
Ils ont sans doute eu raison de rentrer, encore que / quoique à mon
avis il eût été intéressant de passer un an à l’étranger.
Article: Subjunctive or Indicative Form
https://journals.openedition.org/pratiques/2697