Il semblerait ne pas exister de locution telle que « rendre confiance à/dans/en qqc/qqu » ; le TLFi ne mentionne que l'expression « rendre confiance pour confiance ».
L'idée dans « rendre » est celle exprimée par « redonner », —cela a été mentionné dans les commentaires — et elle s'exprime au moyen d'une locution figée, « redonner confiance ». On voit à partir du TLFi que l'on n'a pas le choix d'un usage libre pour ce sens du verbe « redonner » (restituer) ; pour « confiance » il n'est pas question d'utiliser l'article ; pour « espoir » cependant on a le choix et finalement pour des termes moins souvent combinés avec « redonner » il n'est pas question de se passer de l'article. Ceci est rapporté fidèlement dans le TLFi.
(TLFi) Redonner confiance, (du) courage, (de l') espoir, des forces, du prestige, de la vigueur.
Le sens de « rendre » qui est applicable est le suivant.
(TLFi)
I. − Rendre qqn/qqc. à
A. − Rendre qqc. à qqn.(Re)donner ce qui est dû ou attendu.
2. [Qqc. désigne un inanimé abstr., obj. d'une perte] Redonner, faire recouvrer.
Rendre la santé, la vie à qqn.
On peut donc utiliser ce verbe selon des constructions standard pour n'importe quels concepts qui soient compatibles mais on est tenu d'employer des mots déterminants avec « confiance » (la, sa, leur, etc.). Néanmoins l'usage naissant que l'on peut constater d'après l'ngram proposé (rendre confiance en, rendre confiance dans) autorise la considération d'une nouvelle expression figée « rendre confiance en » ou « rendre confiance dans », synonyme de l'idiome taditionnel « redonner confiance en/dans ». On remarquera que la préposition « en » est utilisée de façon très majoiritaire avec cette expression-ci et sans différence de sens (réf. (dans : > 15 livres, en : > 55 livres)).
Il n'y a pas de différence dans l'usage de « dans » et celui de « en » dans le contexte de la question originelle, cela étant dit sur la base d'un examen des contextes trouvés dans les quelques ouvrages relevés par Google Books (dans : 12, en : 18), selon l'ngram proposé. Ceci est une première indication d'une prédilection pour « en » (vérifié aussi pour l'expression synonyme).
Le sens de « en » qui s'applique est assez clairement le suivant d'après le TLFi.
(TLFi) II D 1.. [En construit avec un verbe trans. indir. ou un subst. dér.]
1. [Avec des verbes, des loc. verbales ou des subst. du type : croire, espérer, avoir confiance, avec foi; en introduit un compl.]
[Devant un pron. pers.] Dans une imagination qui croit et ne croit pas en elle-même (M. DE GUÉRIN, Journal, 1834, p. 209).
[Devant un nom propre] J'ai foi en Dieu qui m'a fait ma part (CLAUDEL, Annonce, 1948, III, 2, p. 190)
- « Nous tous, ici-bas, croyons en Adolf Hitler, notre Führer... et (nous confessons) que le national-socialisme est la seule foi qui mène notre peuple au salut. »
CAMUS, L'Homme révolté, 1951, p. 227.
On remarque que ce même dictionnaire ne fournit pas de définition pour « dans » qui corresponde aussi bien à ce contexte sémantique, d'où une seconde indication dans le sens de confirmer une prédilection pour « en ».
Il s'agit de rendre leur confiance en/dans le FSE à des personnes, donc faire en sorte que ces personnes aient confiance en le FSE. On remarque que pour l'expression « avoir confiance » on utilise très peu « dans » (réf.1, réf.2, réf.3). Comme il s'agit de la même relation sémantique que dans « rendre confiance », une troisième indication de l'existence d'une prédilection pour « en » (celle-ci étant plus forte) devient ainsi apparente.
Tout ceci m'amène à penser que s'il n'y a pas de contre-indication proscrivant l'usage de « dans » il n'y a pas non plus la preuve d'un usage spécialisé et qu'en plus c'est « en » qui prédomine largement. Il me semble que « en » serait un très bon choix.
Selon mon point de vue ce n'est pas tout ce qui puisse être discuté en rapport avec la correction de ce slogan. « SO » et « FL », ce dernier sigle étant de façon plus appropriée « FSE », sont des sigles d'organisations, comme OTAN, ONU, UNICEF. Il serait tout à fait anormal de trouver même dans une manifestation un slogan tel que « ONU rend confiance en UNICEF » ; on doit prendre en compte deux principes avec lesquels on n'a pas encore transigé dans la langue française. Le premier est que l'on n'interpelle pas un organisme ou une organisation en proférant son nom ; le second est aussi évident à tous : l'article est toujours utilisé avec le sigle d'une organisation. Par exemple, lorsque le sigle est utilisé dans « le foyer socio-éducatif » le résultat est de façon consistante « le FSE ». Pourquoi introduire un nouvel usage en plus de celui qui existe déjà ? Il n'y a rien de plus derrière cette nouvelle pratique que l'influence de l'anglais et un manque total de considération pour le système du français et l'unité de cette langue. C'est un anglicisme non toléré pour l'instant et à mon avis non tolérable. Au vu de ces principes une formulation telle que la suivante serait raisonnable.
- Que le SO rende confiance en le FSE