La déduction est juste sauf dans la dernière partie. Le raisonnement est entièrement parallèle dans la seconde partie, d'où le fait que l'on doit avoir « un neutre » aussi dans ce cas. La seule différence entre les deux possibilités est qu'alors que les neutres sont sous « moi » dans la première option, ils sont sous « pas moi » dans la seconde.
Pour simplifier la déduction il est nécessaire d'utiliser quelques symboles. Des stages intermédiaires soit évidents ou considérés come triviaux sont inclus, mais ils peuvent faciliter la compréhension du débutant dans ces questions de logique et de théorie des ensembles.
∈ : appartient
∉ : n'appartient pas
u : réunion d'ensembles
⏋ : négation, non
x : variable
P,Q : propriétés
r : individu
P(x) : x a la propriété P
⏋Q(x) : négation de « x a la propriété Q », donc « x n'a pas la propriété Q (même chose pour P,R,S,…)
A, B, N : des ensembles des « anti G », des « pour G » et des « neutres » respectivement
U : ensemble universel ; dans le présent problème l'ensemble universel est l'ensemble des personnes qui ont entendu parler de GAFAM mais pas seulement celles-là ; il comprend l'humanité entière si l'on veut ou bien tous les humains connectés à l'internet. Les conclusions d'un problème sont dépendantes de comment on choisit cet ensemble mais dans un problème de linguistique général on doit assumer que c'est l'ensemble le plus compréhensif. Si par exemple on décide de le limiter dans le premier cas (pas anti G) à l'union de l'ensemble de ceux qui sont pour (X), celui de ceux qui sont contre (Y) et celui de ceux qui sont neutre (N) (U = A u B u N) mais que dans le second cas (pour les G) on se limite à un ensemble universel qui exclu N (U = A u B), on manque de consistance ou plutôt on se place dans un autre système. Donc l'assomption implicite qui est faite dans le premier cas doit être maintenue et en vérité sans précision particulière dans l'énoncé d'où le problème est tiré on inclus non seulement les neutres mais ceux tous les autres qui ne sont pas informés du tout.
c(A) : complément de A, c'est à dire ce qui n'est pas dans A ; A étant inclus dans l'ensemble universel, c(A) consiste du reste de l'ensemble universel lorsque A en est enlevé.
⟺ : équivalent à ce qui précède (abus d'une notation standard mais qui facilite les choses)
{x/P(x)} : ensemble de tous les éléments x qui ont la propriété P; dit autrement : tous les x tels que P(x) ou encore l'ensemble des x tels que P(x)
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P(x): x est anti G ; tous les x tel que P(x) : A ; A = {x/P(x)}
Demander « qui n'est pas anti-G » revient à demander qui n'appartient pas à A; qui n'appartient pas à A appartient au complément de A ; cet ensemble est c(A) ; c(A) = {x/x ∉ A}
Les réponses disponibles sont donc respectivement soit r ∈ c(A), soit ⏋(r ∈ c(A)) ;
r ∈ c(A); ⟺ r ∉ A;⟺ r ∉ {x/P(x)}; ⟺ ⏋P(r); ⟺ r n'est pas anti G
⏋(r ∈ c(A)); ⟺ r ∉ c(A); ⟺ r ∈ A;⟺ r ∈ {x/P(x)};⟺ P(r);⟺ r est anti G
(respectivement) r n'est pas anti G (pro ou neutre) ou r est anti G
(« pro ou neutre » parce que r est dans le complément de A)
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Q(x): x est pro G ; tous les x tel que Q(x) : B; B={x/Q(x)}
Demander « qui est pro-G » revient à demander qui appartient à B; qui n'appartient pas à B appartient au complément de B ; cet ensemble est c(B) ; c(B) = {x/x ∉ B}
Les réponses disponibles sont donc soit r ∈ B, soit ⏋(r ∈ B) (respectivement);
r ∈ B; ⟺ r ∈ {x/Q(x)}; ⟺ Q(r); r est pro G
⏋(r ∈ B); ⟺ r ∉ B; ⟺ r ∈ c(B);⟺ r ∈ {x/⏋Q(x)};⟺ ⏋Q(r);⟺ r n'est pas pro G
(respectivement) r est pro G ou r n'est pas pro G (anti ou neutre)
(« pro ou neutre » parce que r est dans le complément de B)
