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Dans les phrases comme « le livre à lire » ou « la chose à donner », quel est le rôle du mot à? Je le comprends comme « qu'on doit » mais je me demande comment un tel usage a pu apparaître.

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Le site de l'Académie française cite les très nombreuses utilisations de la préposition "à".

Parmi celles-ci :

VII À suivi d’un infinitif peut indiquer une destination nécessaire, une obligation permanente ou temporaire. Un livre à lire et à relire. Un spectacle à voir. La marche à suivre. Prix à débattre. Une personne à récompenser. L’homme à abattre. Votre travail est à refaire. Avoir trois enfants à nourrir. Avoir quelque chose à faire et, elliptiquement, avoir à faire. Il n’en est que plus à estimer. Ce n’est pas à dédaigner. C’est à prendre ou à laisser.

A l'origine, selon cette référence, "à" (latin ad) indiquait une destination, ce qui est à rapprocher d'un objectif à atteindre.

En simplifiant un peu :

Destination à atteindre -> objectif à atteindre -> obligation

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