Il n'y a rien d'impoli ni d'agressif dans l'expression « laisser tomber ». Le problème est qu'elle ne convient pas au contexte décrit. On demande à quelqu'un de laisser tomber quelque chose lorsque cette personne est engagée dans un processus plus ou moins long et plus ou moins compliqué qui a été initié soit par la personne elle-même soit par le biais de notre initiative ou encore sur l'initiative de la personne et de nous-même, et on dit cela lorsque l'on ne voit aucun intérêt dans la poursuite de ce processus, soit aucun intérêt pour la personne elle-même, soit aucun pour nous, soit encore pour les deux; c'est tout simplement une demande d'arrêter le processus.
Ce que l'on peut dire c'est que c'est une expression assez familière qui a un sens plus ou moins péjoratif: elle exprime souvent que la personne qui parle se fait une idée méprisable du processus ou le considère comme trivial plutôt que simplement inutile. De plus, lorsque l'on dit de quelqu'un qu'il/elle a laissé tombé quelque chose on introduit parfois la connotation que cette personne est défaillante dans un des aspects de son caractère: manque d'intérêt, peu de force d'âme, manque de sérieux, pas de suite dans les idées, etc. ; on n'introduit pas ces connotations lorsque l'on utilise à la place de « laisser tomber » le synonyme « abandonner », lorsque celui-ci convient. Donc en utilisant cette expression, même lorsqu'elle est assez justifiée comme dans le cas par exemple d'une caissière qui essaie de replacer correctement le bouchon de votre bocal de café instantané qui semble avoir un défaut et se détache, on n'est pas libéré entièrement de ces connotations et dans le cas de cet exemple il vaut mieux dire quelque chose comme « (Non,) ne vous donnez pas la peine » ou « Laissez, je m'arrangerais » ou « Laissez, je vais aller chercher un autre bocal. ». Disons que si ce n'est pas plus poli, ça dénote d'un langage plus raffiné. On peut donc dire « laissez tomber » sans commettre une faute fondamentale de langage, mais bien sûr, dans ce cas de caissière qui pose une simple question (Avez-vous besoin de quelque chose ?), ce qui ne représente pas un processus en cours d'exécution, cela ne convient pas, mais ça ne convient pas seulement de par le contexte qui ne correspond pas. Aurait été approprié quelque chose comme « Je n'ai besoin de rien, merci ! » ou « Non, merci ! » ou encore « Je pensais revenir dans les rayons pour chercher un article mais j'ai changé d'avis, je ferai sans, merci ! ».
Ce qui aura pu être malpoli c'est seulement le tutoiement dans le cas où la caissière n'aurait pas été l'une de vos connaissances intimes, une de celles que vous avez l'habitude de tutoyer.
