C'est à cause des rimes des chansons à mon avis. Si elles utilisaient mieux, les rimes seraient incorrectes. On voit dans les deux cas que le mot meilleur est là pour rimer avec ailleurs.
Par contre, les adjectifs ne veulent pas exactement dire la même chose comme dit en commentaire, mais je ne sais pas à quel point cette différence a été importante pour l'auteur par rapport aux rimes de la chanson.
Zebda
...
Tous les enfants de ma cité et même d'ailleurs
Et tout
ce que la colère a fait de meilleur
Des faces de stalagmites
et des jolies filles
Des têtes d'acné, en un mot la famille
...
Zaz
...
On dira que les rencontres font les plus beaux voyages
On
verra qu'on ne mérite que ce qui se partage
On entendra chanter
des musiques d’ailleurs
Et l'on saura donner ce que l'on a de
meilleur
...