Voici quelques précisions dans le domaine du gouvernement. Le domaine commercial et administratif privé est laissé à d'autres réponses.
« Sous l'Ancien Régime, chacun des secrétaires d'État dirigeait une forme de département en fonction de ses attributions.» (Wikipédia).
De nos jours le département n'est plus qu'une division territoriale administrative de la France; le pays est divisé en 101 départements.
(Dans ce qui suit, mise en caractères gras due à user LPH)
From Wikepédia, Cabinet ministériel
Chaque membre d'un gouvernement [ministre] dispose de collaborateurs directs qui l'assistent dans sa tâche de direction des services dont il a la charge. Ces collaborateurs sont regroupés au sein d'un organisme que l'on appelle le cabinet ministériel.
Chaque ministre ou secrétaire d’état est aidé dans ses fonctions par son cabinet qui regroupe soit des proches politiques qui travaillent depuis longtemps avec le ministre (anciens attachés parlementaires, militants, collaborateurs dans une mairie), soit des hauts fonctionnaires recrutés dans l’administration, et qui ont choisi de se marquer politiquement.
Dans l'administration centrale française les directions et les services sont les grandes divisions des ministères.
From Wikipédia, ministère
Les services d'un ministère sont répartis entre une administration centrale, le plus souvent localisée à Paris, et des services déconcentrés en région.
From Wikipédia
L'organisation des services centraux de chaque ministère en directions générales, directions et services est fixée par décret, leur organisation en sous-directions est fixée par un arrêté du ministre concerné
La hiérarchie administrative place les directions au dessus des services (réf.)
Les directions (parfois directions générales) : elles peuvent être thématiques et correspondre alors à un domaine d’activité du ministère, comme la direction de l’eau et de la biodiversité au ministère de la transition écologique et solidaire, ou fonctionnelles et alors transversales, comme les directions en charge des ressources humaines. […]
Chaque direction comporte des subdivisions dont l’appellation varie selon les ministères. Il peut s’agir de sous-directions, de services ou encore de divisions. À leur tête, les sous-directeurs, les chefs de service ou [chefs] de division sont nommés en vertu de règles statutaires.
L’unité de base au sein des différents ministères est le bureau dirigé par un chef de bureau.