Il y a deux acceptions importantes du nom « fois ». ((TLFi)
I. − [Dans des loc. adv.]
A. − La loc. exprime l'idée de fréquence.
1. [En constr. dir.]
I. A.1. a) Marque l'unicité.
I. A.1. b) Marque l'itération.
Dans le contexte présenté c'est l'idée d'unicité qui est valide. L'article défini est nécessaire parce parmi toutes les fois possibles toutes sont uniques (Les articles définis).
Dans le but d'essayer de comprendre ce détail très difficile de l'emploi de l'article, considérons les deux contextes liés suivants.
1 Contexte impliquant une personne qui s'adresse à une clinique (contexte proposé par la PO)
— Avez-vous un dossier ?
— Non, c'est la première fois ?
Il s'agit de « fois » dans le sens de l'unicité que ce mot peut conférer.
2- Contexte associé : la même personne s'entretient avec une amie et lui parle d'une clinique à laquelle elle s'est adressée, et qui, en fin de compte ne lui a pas donné satisfaction.
— Alors tu ne les trouves pas comme il faut ?
— Non, vraiment, j'y suis allé une première fois pour un diagnostic simple et il a fallu quinze jours pour avoir des résultats partiels ; ils m'ont fait revenir une seconde fois pour passer un examen qui n'a été qu'une répétition, et quand j'ai eu les résultats j'ai été avertie qu'ils n'étaient pas immédiatement en mesure de faire la petite opération nécessaire, mais que comme ce n'était pas grave, je pouvais attendre un mois de plus. Eh bien, j'ai changé de clinique et trois jours après la première visite j'étais opérée.
Il s'agit dans ce second contexte de « fois » dans le sens de l'itération que ce mot peut conférer. On peut, dans ce second contexte, utiliser l'article défini pour la première occurrence, mais, nouvelle énigme, pas pour la seconde ; c'est choix possible. Cependant, la connotation d'itération qu'aurait « Non, c'est une première fois… » dans le contexte de la PO ou le premier contexte ci-dessus a quelque chose de prématuré, comme si la locutrice était soumise à un programme prévoyant plusieurs visites, ou comme si elle s'y soumettait elle-même.
En conclusion, on doit dire qu'il n'y a qu'une possibilité, et c'est celle avec l'article défini.