That reflexive se farcir is simply some colloquial way of expressing something is a chore, something you have to suffer through ("Exécuter de mauvaise grâce un travail ennuyeux ou pénible", TLFi) or that someone is hard to bear ("Supporter avec beaucoup de mal", TLFi); it's similar to se taper ("Faire; être obligé, contraint de faire", TLFi). Translation to English is not on topic, it's a matter of choice and context, register and style etc. and Wiktionary suggests things like "to get saddled with; to have to put up with", you can add ideas like having to take something (Larousse en ligne), similar to se taper which could be something like be stuck with (Larousse en ligne). No need to go culinary/anatomical on this, just select something pretty informal and natural in context for you to express those ideas.
Sources
TLFi (j'identifie B. 3. a, b comme correspondant à l'exemple en question) :
B.− Emploi pronom.
1. À valeur passive. Les dindons se farcissent avec des truffes (Littré).
2. À valeur réfl. [Suivi d'un compl. d'obj.; le pron. a une valeur de compl. d'obj. indir.]
a) Fam. Se farcir (la panse, le chou...). Se remplir, se saturer (de), manger avec excès. Ah! quel plaisir de boire frais, De se farcir la panse! (Berlioz, Grotesques mus.,1859, p. 29).Cf. aussi Martin du G., Gonfle, 1928, III, 2, p. 1228.
b) Au fig. Se farcir (la tête, la cervelle) de. Surcharger son esprit, son intelligence, de notions, de connaissances pas toujours utiles. Laissez-là tous vos déclamateurs de tribunes et toutes ces billevesées grecques et latines dont vous vous êtes farci la mémoire (Jouy, Hermite, t. 1, 1811, p. 97).
3. Argot
a) [Le compl. désigne un inanimé concr. ou abstr.]
− Se farcir (un travail, une tâche). Exécuter de mauvaise grâce un travail ennuyeux ou pénible. Synon. se taper, se coltiner. Je me le suis farci [le piano à déménager] tout seul (Trignol, Pantruche, 1946, p. 87).
♦ Rare. S'offrir, s'acheter quelque chose. Tu te rends compte de ce qu'on peut se farcir avec quinze mille francs! (Vialar, Faux-fuyants, 1953, p. 120).
− Se farcir une peine (de prison). La purger. Tu sors du ballon? Combien que tu t'es farci? − Dix piges (Trignol, Pantruche, 1946 p. 91).
b) [Le compl. désigne une pers.]
− Supporter avec beaucoup de mal. Jojo était avare (...) mais, en plus, fallait se le farcir! (Simonin, Pt Simonin ill.,1957, p. 190).
− Trivial. Se farcir une femme. Coucher avec elle. Synon. se taper, s'envoyer. On aurait voulu le poirer nous en train de se farcir la patronne (Céline, Mort à crédit, 1936, p. 201).
Larousse en ligne :
Populaire
- Assurer l'exécution de quelque chose malgré la difficulté, l'ennui, le déplaisir, etc. ; s'envoyer : Je me suis farci tout le travail.
Synonymes :
s'appuyer (populaire) - se coltiner (populaire) - se taper (populaire) - s'envoyer (populaire)
Wiktionnaire :
[...]
(Pronominal) (Familier) Faire quelque chose sans grand plaisir, supporter quelqu'un ou quelque chose de déplaisant.
Mais je dois rester, chéri. Hein, dans ce bled ? mais t'es folle ! tu voulais Vegas pas Triffouilly-les-Oies ! Ce contrat tu m'as dit toi-même que c'était juste pour rendre service à ton agent ou à je ne sais plus qui, et que ça te faisait drôlement braire de te farcir cette trotte. — (Joseph Bialot & al., Du noir dans le vert : nouvelles, éd. Ecailler du sud, 2002, vol. 1, page 129)
Robert en ligne :
[...]
3. familier Se farcir (qqch.) : avoir, consommer.
— Faire (une corvée). Se farcir tout le travail.
— Supporter. Celui-là, il faut se le farcir !
Wordreference : Se farcir [qch]. familier. Faire sans plaisir. Se farcir [qqn]. familier. Supporter.
L'internaute.fr : Endurer, supporter quelqu'un ou quelque chose.
Usito :
[...]
2 Faire avec contrariété.
Se farcir les corvées.
« il parcourt le monde, visite les experts, se farcit tous les bouquins sur la question et s'empresse de faire connaître son expertise à ses clients » (Commerce, 1994).
3 péj. Subir, supporter.
⇒ endurer.
Se farcir un vendeur insistant.
