1/ In the particular example chosen, the relation is not "manner" (in other words, "way"), but instead "means". You can replace "de" by "by means of" (the meaning of "de").
This is a construction that is used with mobile body parts and nouns that denote the movement thereof, but it is not always possible to combine a verb that way; the forms have to be learned one by one, although certain patterns will progressively become apparent. Below, are listed some of them using typical verbs or verbal expressions.
Body parts
- faire signe des yeux, faire un signe de la main, faire un signe de la tête
- pousser de la main, pousser du doigt, pousser du coude, pousser du pied
- repousser de la main, repousser du pied
- toucher du coude, toucher du genou,
Movements
- faire signe d'un geste,
- pousser d'un mouvement,
- écarter d'un revers de main
- rejeter/repousser/secouer d'une chiquenaude
2/ "De" is a preposition.
(TLFi) b) [Le compl. désigne une partie du corps]
− Verbe + de
Verbes d'action. Travailler de ses mains.
■ Une grande vilaine bête, lourde à soulever des genoux (Hamp, Marée,1908, p. 25).
■ Du pouce et de l'index [il] éjecta le mégot à distance appréciable (Queneau, Pierrot,1942, p. 8).Il m'a regardé de ses yeux clairs (Camus, Étranger,1942, p. 1126)
■ Dans sa hâte, elle s'était embarrassée, elle tâtonna, de la main gauche, pour saisir la rampe, qui trembla un peu. Daniel-Rops, Mort, où est ta victoire?1934, p. 2.
3/ Marc poussait le ballon à pied.
The use of "à" is not correct. The use of "à" in this sentence makes it a meaningless one.