Il n'existe pas deux propositions, mais cinq.
« où le gouvernement s’est fait dire en commission parlementaire à quel point les services de santé à domicile étaient déficients »,
qui est bien une proposition, fait partie du syntagme nominal
« Au nombre de fois où le gouvernement s’est fait dire en commission parlementaire à quel point les services de santé à domicile étaient déficients ».
« à quel point les services de santé à domicile étaient déficients » est une autre proposition, enchassée dans la proposition « où le gouvernement … »
« jamais je ne croirai » est la troisième proposition, une principale.
que le peu … puisse être retiré un jour » est la quatrième proposition, une conjonctive introduite par « que ».
Enfin « qu'il y a » est une relative enchassée dans la conjonctive.
En terme d'analyse de phrase complexe, La phrase toute entière n'est qu'une proposition principale dont le verbe est « croire ».
Il est utile de passer de la phrase en question à un type simplifié.
- Au nombre de fois, je ne le crois pas. — Je ne le crois pas, au nombre de fois.
Ce qui ressort de cette construction est, grossièrement, une idée de cause, mais elle n'est pas communiquée par une proposition ; elle est communiquée de façon non systématique par la sémantique ( « à », « nombre », « croire »).
- À cause du nombre de fois je ne le crois pas. (grossièrement)
C'est bien un équivalent de « étant donné » ou mieux encore « à en juger par », locution tendant à devenir prépositionnelle qui contient « à », cependant erroné du point de vue usage, et avec des nuances.
La préposition « à » « réussit » à en être l'équivalent, mais par le biais d'une distorsion, c'est à dire, à mon avis, d'une déformation de l'usage actuel. Pour comprendre, ce que le TLFi explique à son entrée pour « à » est capital.
(TLFi) I. − À dans le syntagme verbal (à sert à construire un complément du verbe)
F. − [À introduit un complément circonstanciel de manière, de matière, d'indice, de cause, de moyen, etc.]
c) À introduit un compl. d'indice ou de cause
− Le verbe de base est un verbe de perception ou d'entendement. Le compl. désigne un indice :
reconnaître qqn au pas.
je vois ça à des tas de petits trucs
découvrir le coupable à un indice
il s'apercevait à d'imperceptibles affleurements que ...
il peut se dépister à un symptôme commun à ...
tu le sens à un léger fourmillement de tout ton dos
mais au mouvement de ses bras, je pouvais croire que ...
on devinait, aux rides profondes qui se creusaient dans son visage, que ...
à l'accent méprisant qu'elles avaient, ...
la fille entendait qu'elles mentaient
et je surpris d'ailleurs, au ton employé par lui, qu'il ...
à cette colère, Jean vit que ...
il comprit, à la description, que ...
il se demanda, à la seule lecture de la lettre, si ...
Le lien est donc précisément l'indice (oublier l'idée de cause utilisée plus haut).
Pour revenir à la question citée dans l'OP et la phrase douteuse,
« Il n’y a pas de quoi! Au nombre de fois que/où ça m’arrive, je ne serais pas bien placé pour parler. »,
la locution verbale « être bien placé pour », n'est pas un verbe d'entendement, d'où l'impression d'un manque total d'idiomaticité.
De même, « croire » n'est pas un verbe d'entendement ; il est par nature beaucoup plus proche d'un tel verbe, mais toujours pas assez caractéristique de ce type de verbe ; donc, à mon opinion, la phrase prise comme exemple dans l'OP, elle non plus, n'est pas acceptable.
3/ Il n'a été question ci-dessus que du français parlé en métropole, et la question sur l'usage au Québec me dépasse complètement.