1: Si je n’avais pas perdu bêtement la bague de fiançailles, j’aurais eu tôt fait de lui demander sa main.

I’m not sure why the use of two consecutive Participes Passé, « eu » et « fait », is considered grammatical. It’s part of a set expression, to be sure, but still ...

It’s tempting to drop « eu » and say:

2 : Si je n’avais pas perdu bêtement la bague de fiançailles, j’aurais tôt fait de lui demander sa main.

But I assume that in this specific expression, « aurais tôt fait » is actually the Present Conditional rather than the seemingly Past Conditional, which changes the meaning of the main clause.