I would add the qu':
Je ne veux pas (y?) aller demain. Les raisons sont que je suis fatigué et qu'il va probablement pleuvoir.
But I would not be shocked if somebody said:
Je ne veux pas (y?) aller demain. Les raisons sont que je suis fatigué et il va probablement pleuvoir.
Maybe not entirely correct, but IMHO many people would say it.
For the second sentence, which by the way I prefer to "les raisons sont que..." which is bit heavy, there are a few possibilities:
Je ne veux pas (y?) aller demain parce que je suis fatigué et parce qu'il va probablement pleuvoir.
Je ne veux pas (y?) aller demain parce que je suis fatigué et qu'il va probablement pleuvoir. - completely OK.
Je ne veux pas (y?) aller demain parce que je suis fatigué et il va probablement pleuvoir. - still OK, maybe borderline incorrect.