Bien que rare, c'est grammaticalement correct. Il s'agit un conditionnel passé surcomposé.
Questions de langue - Temps surcomposés - Académie française:
Tout aussi rares sont les autres temps : conditionnel passé surcomposé (quand elle aurait eu fait cela ; quand elle aurait été partie)
> j’aurais eu tôt fait de lui demander sa main.
j’aurais eu tôt fait de lui demander sa main.
est équivalent à:
je lui aurais aussitôt demandé sa main
