La réponse qui suit est valable en français de France métropolitaine.
Le lien cité me semble sinon faux, ou du moins d’un prescriptivisme qui n’a pas tenu compte des évolutions de la langue. Le dictionnaire de l’Académie Française, neuvième édition, indique pour « apparaître » aussi bien le sens n°1 avec une notion d’immédiateté (le magicien fait apparaître une pièce) que le sens n°2 qui est au contraire graduel (des fissures apparaissent sur la façade).
Par ailleurs, dans le sens littéral de devenir visible, « paraître » appartient désormais à un registre de langue très soutenu. Le sens est compréhensible, mais on ne le trouvera plus que dans des contextes très particuliers (poésie, jargon technique, ou ironie dans un texte imitant un style ampoulé). Le terme à employer variera selon le contexte :
un message paraît à l’écran -> un message s’affiche à l’écran
le soleil paraît à l’horizon -> le soleil devient visible à l’horizon / le soleil se lève
monsieur X paraît au bal -> monsieur X vient au bal / monsieur X se montre au bal
Dans le sens figuré, « paraître » est quasiment synonyme de « sembler » :
Il paraît avoir vingt ans = il semble avoir vingt ans
Il paraît fatigué = il semble fatigué
Je vois une légère différence de sens dans l’expression figée « il paraît que », où le locuteur se détache de ce qui suit, alors que « il semble que » indique un minimum de croyance personnelle :
Il paraît qu’il trompe sa femme = Le bruit court qu’il trompe sa femme, je répète la rumeur mais en réalité je n’en sais rien.
Il semble qu’il trompe sa femme = J’ai de bonnes raisons, à titre personnel, de croire qu’il trompe sa femme (même si je peux me tromper). [On s’attend, si ce n’est pas déjà fait, à ce que le locuteur avance une preuve de ce qu’il vient de dire.]
