Sur les smartphones, on dit plutôt presser.
Appuyer se dit aussi.
Toucher se rencontre encore et serait peut-être le plus juste désormais:
Comme le fait remarquer L'aditdabenlà au milieu de sa réponse plus bas, il faut noter que presser/appuyer est un héritage des anciens PDA (assistants personnels, qui avaient ou non la fonction téléphone) et qui nécessitaient réellement une pression, certains avaient même un petit clavier. De nos jours, l'écran tactile est capacitif (c'est le fait de le toucher une zone qui est détecté, sans pression).
Taper (et également cliquer, frapper) est plutôt réservé aux claviers d'ordinateur, et par extension aux tablettes (grands claviers virtuels).
Mais comme les applications web ne sont pas nécessairement adaptées spécifiquement au terminal et cherchent à tout couvrir, on rencontre souvent ces derniers termes, mêmes pour des smartphones.