Comme le fait justement remarquer Mathieu Bouville, chez ne s'écrit que devant le nom d'un être animé. Du moins, si l'on en croit Larousse. Toutefois, il est très courant de dire "travailler chez (une entreprise)" et ce, que ce soit le nom d'une personne (vivante ou ayant vécu) ou pas. Travailler chez Apple est possible et pour preuve: Travailler chez Apple. M. Apple serait ravi de vous accueillir au sein de son équipe.. Je peux aussi travailler chez Naturalia, Amazon, etc.
De plus, Larousse nous fait remarquer qu'au niveau construction, chez peut être utilisé avec une préposition. Il me semble que de entre dans cette catégorie. Nous pouvons donc dire que de chez est correct.
Toutefois, et ceci est mon ressenti, de chez est du registre familier. En aucun cas, je ne le mettrais dans une lettre de motivation.
Il y a une expression familière avec "de chez" :
Bien de chez nous (typique du milieu auquel on appartient)
Dans une conversation non formelle, citant un de mes collègues, je pourrais dire
C'est un développeur d' chez nous
Ensuite, devant un nom attribut indiquant une profession, il n'y a normalement pas de déterminant. La raison étant que la profession ici est comparable à un adjectif. Donc, comme tu l'as écrit, c'est très bien (et même mieux).
Je m'appelle Raoul, (je suis) développeur chez Capgemini, ...