Je n'avais pas prévu répondre à ma question au départ, mais j'ai fait un peu de recherche et je suis tombé sur un article plutôt intéressant de la Banque de dépannage linguistique, qui explique bien pourquoi l'usage de cette expression est déconseillé.
Les enchaînements comme par exemple et ainsi par exemple [...] sont considérés comme pléonastiques.
Un peu de théorie
Cela veut dire qu'on devrait s'en tenir à une seule des expressions à la fois. C'est soit « ainsi », ou « comme », soit « par exemple ». La locution par exemple peut s'utiliser dans presque tous les cas, et ainsi ou comme doivent être utilisés avec un peu plus d'attention.
De ce que j'en comprends, « comme » est vraiment utilisé pour introduire un ou plusieurs exemples tandis que « ainsi » est utilisé pour introduire un exemple ayant une conséquence, et peut donc être remplacé par « par conséquent ».
Revenons sur la question
La phrase que j'avais mentionnée comme exemple devrait donc être remplacée par un des deux cas suivants :
J'aime bien me promener dans les parcs, comme le parc Acme à Helloworld-sur-le-cap.
J'aime bien me promener dans les parcs, par exemple le parc Acme à Helloworld-sur-le-cap.
Cas d'exception
La locution conjonctive par exemple employée avec la conjonction ainsi ou comme peut parfois suggérer une forme d’insistance.
Pour utiliser les deux, il faut alors les séparer par une virgule (à l'écrit), ou une pause (à l'oral) afin d'éviter le pléonasme.
Au cours de mes différentes interventions, j'ai vu plusieurs erreurs. Comme, par exemple, l'utilisation d'anglicismes.
Revenons donc, encore une fois, sur la phrase de la question, en prenant compte que l'on tienne vraiment à insister sur l'exemple qui y était donné. On peut y ajouter une virgule pour défaire le pléonasme.
J'aime bien me promener dans les parcs. Comme, par exemple, le parc Acme.
On signifie ici une grande insistance sur le parc « Acme », comme quoi il est la place où on aime se promener.