Je ne sais (plus) que faire est correct et pas une originalité de Sartre. Quelques exemples choisis parmi ceux trouvés dans Le bon usage1 :
- La pauvre mère ne sait plus qu'inventer (Daudet)
- Je ne savais plus que penser (P. Mac Orlan)
- Ils ne savent qu'inventer sur nous, égoutiers (Giraudoux)
Voici ce que dit Le bon usage :
[...] Dans l'interrogation indirecte, que s'emploie comme attribut ou complément d'objet direct après avoir, savoir, pouvoir, pris négativement et suivis d'un infinitif, parfois aussi après des verbes comme chercher, se demander, etc. suivis d'un infinitif.
Et en note :
Dans l'usage ordinaire, et même dans la langue littéraire, que, ainsi employé, le cède de plus en plus à quoi, qui est plus étoffé, plus expressif : Ne sachant quoi faire (A. Gide). — Je n'aurais pas su quoi répondre (H. Bosco). — D'ailleurs que, dans certains cas, peut être équivoque ; par exemple : Il ne sait que chercher peut signifier : 1º il ne sait quelle chose chercher ; 2º il ne sait rien faire d'autre que chercher. — Pour G. Gougenheim (Études de gramm. et de vocabul. franç., p. 124-29), le principe de différenciation entre que et quoi devant l'infinitif est la structure phonétique de l'expression ; que s'explique par l'attitude psychologique, et quoi par l'idée de la réalisation concrète. « Un homme qui se trouve dans une situation difficile exprimera son embarras en disant Je ne sais que faire ; un enfant qui s'ennuie dira Je ne sais pas quoi faire. »
La grammaire Larousse du français contemporain2 disait la même chose en le formulant différemment :
Que et quoi alternent quand la question porte sur l'objet direct d'un verbe à l'infinitif : Le Saint-Père ne sait pas que faire, que dire, que penser (Prévert). Alors, quoi faire ? Je ne sais pas quoi faire.
Que interroge plutôt sur l'action et quoi, de façon plus insistante, sur le contenu de l'action.
Quelques exemples trouvés dans la littérature contemporaine :
Soudain, il essuie ses yeux pleins de larmes et je ne sais que faire. (Jenifer Donaldson, Pauline Vidal)
J'ai la tête en feu et je ne sais que faire, hormis confier mon CV au vendeur de marrons grillés (Federica Bosco)
110e édition, 1975
2 Jean-Claude Chevalier, Claire Blanche-Benveniste, Michel Arrivé et Jean Peytard, 1964.