Dans quels cas doit-on utiliser l'un plutôt que l'autre, et vice versa ?
Par exemple, est-il correct de dire :
Ils sont aussi populaires les uns que les autres.
Ou cette forme-ci est-elle plus appropriée ?
Ils sont autant populaires les uns que les autres.
TL;PL : On peut échanger autant et aussi seulement quand il s'agit de comparaison d'adjectifs attributs, sauf dans certains cas particuliers et dans ce cas aussi est plus courant. Par exemple « Ils sont autant populaires les uns que les autres. » n'est pas correct¹ : autant ne peut pas précéder immédiatement un adjectif.
Dans les autres cas de comparaison, autant s'emploie surtout pour une proposition, façon « on y mange autant qu'on y boit », alors que aussi s'emploie pour un adverbe « aussi méchamment que ». Dans des emplois où il ne s'agit pas de comparaison, la confusion est plus difficile.
Le détails du TLF sur les cas particuliers en question :
I.− [Porte sur un adj. ou un autre adv., ou modifie une loc. verbale]
A.− Il signifie la comparaison d'égalité […]
1. Aussi… que
a) [Porte sur un adj. et dans ce cas si la prop. est affirmative, peut commuter avec autant] :
[…] Rem. 1. La commutation avec autant n'est pas possible dans le tour aussi … que si TLFi
Et dans autant
I.− Adv. de compar. exprimant en phrase compar., explicite ou implicite, l'égalité de deux procès, quant à leur intensité, leur quantité ou leur valeur.
A.− Autant est suivi d'une prop. complétive, d'un terme de compar. introd. par le corrélatif que.
1. [La compar. est explicite.] […]
b) Rare. [La prop. princ. est attributive] − [Sans ell. dans la sub. compar.] : […]
Rem. On emploie plus fréquemment le tour est aussi + adj. … que.
[…] − Autant ne peut précéder immédiatement l'adj. : *Elle était autant pieuse que personne, mais on dit : Elle était pieuse autant que personne.
− Autant ne peut modifier l'adj. épithète ou apposé; mais cet emploi, possible au XVIIes. survit sporadiquement […]
