Il me semble que générique est plus précis que général, mais générique — bien que réservé à quelques domaines de spécialité — m'a tout l'air de pouvoir remplacer général à chaque fois qu'il est employé comme adjectif.
La différence est peut-être seulement qu'on peut dire en général
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Typiquement, et pour rester, je pense, dans le champ mathématique, j'appelerai générique quelque chose qui peut être paramétrisé, même avec les mains, et général quelque chose qui s'applique largement, mais dans un sens plus flou. Il me semble que si on a une solution générique, alors on doit pouvoir trouver un générateur de solutions particulières, ce que ne garantit pas une solution générale.
Au premier abord, dans ton exemple, oui, j'aurais dit que générique convenait, mais en y réfléchissant, ça dépend peut-être de ce qu'est exactement la méthode. D'un autre côté, en essayant de trouver un exemple, soit il vaut mieux reformuler avec en général, soit on peut remplacer général par générique.
La méthode générale pour traiter un problème consiste à essayer de le simplifier avant de le résoudre.
Mais je ne trompe personne, et j'ai dans l'idée qu'il vaudrait mieux dire :
En général, il faut simplifier les problèmes avant de les résoudre.